情人節，如何用數學方法估算一個女生前男友的數量？

如果一個女生說，她集齊了十二個星座的前男友，我們應該如何估計她前男友的數量？

小學生：這個問題相當簡單公式：

數據：

{白羊座, 金牛座, 雙子座, 巨蟹座, 獅子座, 處女座, 天秤座, 天蠍座, 射手座, 摩羯座, 水瓶座, 雙魚座}

實現：

N@# HarmonicNumber@# &@12

答案：

37.2385

-----------------------------------------

初中生：不知道要考慮分布嗎？公式：

數據：

n=12

實現：

DiscretePlot[c!StirlingS2[n-1,c-1]/c^n/.c->12,{n,1,100}]

答案：

有10%的把握少於17個，有50%的把握少於35個。

有90%的把握少於55個，有99%的把握少於82個。

------------------------------------

高中生：知不知道人群中星座分布比例不均？公式：

數據：

額外假設1：題主是中國人，所以使用中國的星座分布數據

額外假設2：題主是適齡青年，所以使用年齡18-36的星座分布數據

第一個是白羊座，然後是金牛，以此類推…

p={0.1028,0.0911,0.0843,0.0822,0.0848,0.085,0.0857,0.0795,0.0753,0.0761,0.0808,0.073}

注1：不要吐槽總和不是1，因為有捨入誤差……

實現：

NIntegrate[1-Fold[Times,1,1-E^(-#t)&/@p],{t,0,9527}]

答案：

37.7424，就比均勻分布多了0.5個…

可以類比均值不等式理解為何分布默認均勻的時候最小

--------------------------------------

大學生：難道不知道上一任男友對下一次決策有影響嗎？比如……哦不……顯然

上任是處女座，估摸着下任怎麼着也不會是處女座了…

上任是天蠍座，那麼我打包票，你不會也不敢有下任了…

然後順便把上面的星座分布不均也考慮進去…

所以我們可以用一個轉移矩陣來刻畫這個情況。

或者畫成12個節點的加權有向圖…

然後求這個加權圖G的隨機遊走覆蓋時間(Cover Time)

考慮到嚴謹性我應該證明一下上面的一堆公式，不過上面三個公式每個都能寫篇大論文，短短篇幅說不清，所以解釋就化歸到這個問題一併解決…

隨機遊走

把12星座畫成12個節點，然後可以作為下任的話就畫個箭頭箭頭有個粗細程度，這個叫加權，加權決定了選這個下任的概率有多大，實際概率波動不大所以不明顯分析這144個關係全都畫出來就是上面這張圖選男友的過程數學上被稱為圖G上的隨機遊走Cover Time

這些節點全部經過至少一遍所需要的時間叫做Cover Time子問題包括各種著名概率問題，生日問題啊，贈券收集啊等等…衍生問題還有復遍歷，多重遍歷什麼的，可以有效用於氪金估計…退化問題，退化為Tree的話可以相當有效的進行爬蟲策略優化…顯然上面三個公式都是這個問題的特例

1、小學生：12階非加權完全圖的Cover Time

2、初中生：12階非加權完全圖指定Cover程度後的Time分布

3、高中生：12階加權完全圖的Cover Time

這個問題數學上來說的話不難，窮舉所有路徑首次通過時間的分布的平均值的交錯和就行了...寫成公式就是這樣：

記A為G的所有可能通過的路徑

雖然能寫出公式然而並沒有什麼用，求解精確值還是個世界難題…

寫成代碼是這個樣子的，複雜度足夠讓算法學家爆氣…

幸好星座只有12個我的小CPU還能踉蹌跑完...56個民族的話到宇宙滅亡也跑不完

而且蒙特卡洛效果也不太好，小規模精度不夠，大規模基本跑不完…

一般可以用Matthews逼近來稍稍有效的求一下上下界…

見Markov Chains and Mixing Times一書

哦，忘記說計算結果了，初始節點對最後的結果影響不小，所以第一個男友很重要啊

也就是13個人為實驗組，考察下質量然後放棄掉，然後後面27個只要有超過前13個中最強的就嫁了吧……

Well.....So,Reasons to believe that you are the 13th rebound guy...

簡單地說就是找12個星座的男生採樣比較均勻……