社交牛X症為什麼總出在你朋友身上？這其實是一道數學題

撰文 | 白德凡

審校 | 王昱

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你對自己的朋友數量感到滿意嗎？你有沒有試着評估一下，自己的朋友數量在朋友圈中處於什麼水平？如果是懷着攀比的心理去對比，數學家會告訴你，結果很可能會讓你失望，你擁有的朋友總是不如你朋友平均擁有的朋友多。這個數學上的證明結果有些違反直覺，人們稱之為「友誼悖論」。我們該如何解釋這個悖論？現實中的社交網絡真如悖論所反映的那樣嗎？

你的朋友圈裡或許有那麼一兩個社交達人，每天曬着和不同人的合照，一條動態就能引來上百個點讚；又或許有一兩個社交恐懼症患者，朋友圈長期關閉，一年到頭也收不到他的一條消息；當然更多的還是普通人，三五好友，不多但也滿足交友需求。面對這些天差地別的交友情況，你有沒有試着評估一下，自己的朋友數量在朋友圈中處於什麼水平？是你自己擁有的朋友更多呢，還是你的朋友平均擁有的朋友更多？

友誼悖論

這裡有種直觀的評估方式。假設我有4個朋友，分別是小紅、小綠、小藍和小黃。小紅有3個朋友，小綠有5個朋友，小藍也有5個朋友，小黃比較受歡迎，有7個朋友。要評估我的朋友數量的多少，很自然會想到以朋友們的平均情況為參考。那麼我們可以定義一個數值表示我的「受歡迎度」：用我擁有的朋友數量減去我的朋友擁有的朋友數量的平均數。在這個例子裡，我的受歡迎度是

4-(3+5+5+7)/4= -1

很不幸是個負數，這意味着，我擁有的朋友數量比不上我朋友平均擁有的朋友數量，或者說，我不如我的朋友那麼受歡迎。當然，這只是隨手舉出的個例，現實生活中的人，朋友有多有少，受歡迎度一定也有正有負。如果我們統計足夠多的人，計算他們的受歡迎度的平均值，會不會正負相消，得到一個接近於零的，沒有傾向性的結果呢？

出乎意料的是，有人證明了，受歡迎度的平均值永遠是一個負數。數學上有專門的工具來研究類似社交網絡這樣的複雜關係網。數學家用「圖」（graph）來描述交際網絡，每個人由一個節點（node）代表，如果兩個節點被一條邊（edge）鏈接起來，這兩個節點就成為了「鄰居」（neighbor），這也代表着相應的兩個人互為朋友。一個節點的鄰居數量稱作這個節點的「度」（degree），在社交網絡里，它代表着一個人的朋友數量。我們在前文定義的一個人的「受歡迎度」，即是用對應節點的度減去其各鄰居的度的平均值。通過這個轉換，數學家們可以用數學方法來研究社交網絡的特徵。

一個帶有6個節點的圖（圖片來源：Wikipedia）

而在1991年發表的一篇名為《為什麼你的朋友比你擁有更多朋友》的論文中，社會學家斯科特·費爾德（Scott Feld）從數學上證明了，社交網絡的平均受歡迎度只在一種情況下等於零：網絡里每個人擁有同樣數量的朋友；而在其他所有情況下，平均受歡迎度都嚴格小於零，就像我和小紅、小綠、小藍、小黃的例子那樣。這是否意味着，對於社交網絡中的大多數人來說，他們的朋友數量真的不如朋友的朋友數量多？

費爾德在論文中順帶分析了一下1961年12所美國高中的社交網絡調查數據，結果發現，確實大部分學生的朋友數量不如朋友的多。這個現象細想起來似乎有些違反直覺，因為在大部分人的印象里，在自己的朋友中，朋友數量比自己多的和比自己少的人應該各占一半才對。因此這個現象在被費爾德首次提出後，一直引發着熱烈的討論，人們稱之為「友誼悖論」（friendship paradox）。

平均值的陷阱

友誼悖論的問題很可能出現在受歡迎度的定義上。拿自己的朋友數量和朋友的朋友數量平均值相比較，或許可以衡量單個個體的受歡迎程度；但這個量在社交網絡上的平均值，真的可以有效地反映這個社交網絡的整體特徵嗎？

考慮這樣一個社交網絡，包含100個人，除了一對人互相不認識之外，剩下的人兩兩都是朋友。那麼對於這個社交網絡中的98個人來說，他們擁有99個朋友，因而受歡迎度是

99-(99+99+...+99+98+98)/99≈0.02

而對於互相不認識的那兩個人來說，他們擁有98個朋友，因而受歡迎度是

98-(99+99+...+99+99+98)/99≈-0.9899

那麼這個社交網絡的受歡迎度平均值為

(0.02×98-0.9899×2)/100≈-0.0002

確實是一個負數，符合費爾德的結論。然而，這意味着這個社交網絡中的大多數人不如朋友擁有的朋友數量多嗎？事實上，只有互相不認識的那兩個人的朋友數量比不上朋友的朋友數量平均值，而剩下的98個人，擁有的朋友數量顯然比朋友擁有的平均值要大。這個例子說明，受歡迎度的平均值其實並不總是能有效反映一個社交網絡的整體特徵。

事實上，在處理平均數時，統計學家總是非常小心。比如說，在一群收入相近的普通民眾中加入一個億萬富翁，那麼這群人中絕大多數的收入比不上平均值，然而這並不代表這群人中有一半以上的人比另一半人收入低。社交網絡也是同樣的道理，社交達人們的朋友數量遠高於一般水平，而不愛交際的人可能沒有幾個朋友，這些人的加入會極大影響平均受歡迎度的值，使這個量失去了統計意義。社交網絡的平均受歡迎度確實會一直小於零，這是個數學定理，但它並非在所有情況下都有對應的現實意義。

社恐患者看到這裡可以長舒一口氣了，你可能比計算結果更受人歡迎。

人類高質量友誼

那麼受歡迎度怎樣處理才能反映社交網絡的整體特徵呢？我們不能只看這個量的平均值，還要看它的分布情況。在今年三月份發表的一篇論文中，三位物理學家用幾個數學模型演示了受歡迎度的分布情況如何隨着社交網絡規模而變化。

假設你對朋友數量的需求是固定的，那麼隨着社交網絡的擴大，你和其中任意一個人成為朋友的概率會變小。當這個社交網絡足夠大時，你實際擁有的朋友數量會近似呈現泊松分布（Poisson distribution）。三位研究人員首先用這個模型計算出了社交網絡的受歡迎度的分布情況，結果發現，雖然受歡迎度的平均值總是小於零的，但是它的分布很寬，有相當比例的人的受歡迎度其實大於零。當這個社交網絡中的人平均有8個朋友時，大約35%的人的受歡迎度是正數；平均每人有64個朋友時，則是44%；當平均每人有1024個朋友時，則有約49%的人的受歡迎度是正數，幾乎是對半開了。

研究人員還用兩種改進過的模型模擬了幾種現實生活中的關係網絡，包括科學家合作網絡、爵士樂社區網絡、海豚社交網絡等，計算出受歡迎度的分布情況，與調查結果吻合良好。

圖片來源：pixabay

當然，現實生活中不太可能有人結交上千個朋友，不過這項研究結果倒是可以幫你根據自己的交友規模，來估算自己有多大概率屬於朋友圈中的社交達人。不過無論結果如何，朋友數量不應該成為你交際活動中唯一的關注點。畢竟最終決定你幸福感的，不是友誼的數量，而是友誼的質量。

參考來源：

https://nautil.us/blog/why-you-may-have-more-friends-than-your-friends-do

論文鏈接：

https://www.jstor.org/stable/2781907?origin=JSTOR-pdf

https://academic.oup.com/comnet/article/9/2/cnab011/6287259

來源：環球科學

編輯：牧魚